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Around the Research of Vladimir Maz'ya I: Function Spaces by Farit Avkhadiev, Ari Laptev (auth.), Ari Laptev (eds.)

By Farit Avkhadiev, Ari Laptev (auth.), Ari Laptev (eds.)

International Mathematical sequence quantity 11
Around the learn of Vladimir Ma'z'ya I
Function Spaces
Edited via Ari Laptev

Professor Maz'ya is among the finest experts in quite a few fields of sensible research and partial differential equations. specifically, Maz'ya is a proiminent determine within the improvement of the idea of Sobolev areas. he's the writer of the well known monograph Sobolev areas (Springer, 1985).

Professor Maz'ya is without doubt one of the optimal specialists in a number of fields of useful research and partial differential equations. specifically, Maz'ya is a proiminent determine within the improvement of the idea of Sobolev areas. he's the writer of the well known monograph Sobolev areas (Springer, 1985). the next themes are mentioned during this quantity: Orlicz-Sobolev areas, weighted Sobolev areas, Besov areas with detrimental exponents, Dirichlet areas and similar variational capacities, classical inequalities, together with Hardy inequalities (multidimensional models, the case of fractional Sobolev areas etc.), Hardy-Maz'ya-Sobolev inequalities, analogs of Maz'ya's isocapacitary inequalities in a measure-metric house surroundings, Hardy style, Sobolev, Poincare, and pseudo-Poincare inequalities in several contexts together with Riemannian manifolds, measure-metric areas, fractal domain names etc., Mazya's capacitary analogue of the coarea inequality in metric chance areas, sharp constants, extension operators, geometry of hypersurfaces in Carnot teams, Sobolev homeomorphisms, a speak to the Maz'ya inequality for capacities and purposes of Maz'ya's capability method.

Contributors comprise: Farit Avkhadiev (Russia) and Ari Laptev (UK—Sweden); Sergey Bobkov (USA) and Boguslaw Zegarlinski (UK); Andrea Cianchi (Italy); Martin Costabel (France), Monique Dauge (France), and Serge Nicaise (France); Stathis Filippas (Greece), Achilles Tertikas (Greece), and Jesper Tidblom (Austria); Rupert L. Frank (USA) and Robert Seiringer (USA); Nicola Garofalo (USA-Italy) and Christina Selby (USA); Vladimir Gol'dshtein (Israel) and Aleksandr Ukhlov (Israel); Niels Jacob (UK) and Rene L. Schilling (Germany); Juha Kinnunen (Finland) and Riikka Korte (Finland); Pekka Koskela (Finland), Michele Miranda Jr. (Italy), and Nageswari Shanmugalingam (USA); Moshe Marcus (Israel) and Laurent Veron (France); Joaquim Martin (Spain) and Mario Milman (USA); Eric Mbakop (USA) and Umberto Mosco (USA ); Emanuel Milman (USA); Laurent Saloff-Coste (USA); Jie Xiao (USA)

Ari Laptev -Imperial university London (UK) and Royal Institute of know-how (Sweden). Ari Laptev is a world-recognized professional in Spectral idea of Differential Operators. he's the President of the eu Mathematical Society for the interval 2007- 2010.

Tamara Rozhkovskaya - Sobolev Institute of arithmetic SB RAS (Russia) and an self sustaining writer. Editors and Authors are completely invited to give a contribution to volumes highlighting fresh advances in a variety of fields of arithmetic via the sequence Editor and a founding father of the IMS Tamara Rozhkovskaya.

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Mathématique Terminale A

Ce manuel est destiné aux élèves de Terminale A (littéraire), avec innovations A_3 ou A_4. Il est conforme aux programmes de 1966.

Table des matières :

Partie I. — Notions générales

1. Le raisonnement logique
    1. Notions premières. Axiomes
    2. Théories. Raisonnement logique
    3. Opérations logiques élémentaires
    4. Théorèmes de logique
    5. Méthodes de démonstration
    6. Applications

2. Notions sur les ensembles
    1. Les ensembles
    2. Sous-ensembles. Inclusion. Implication logique
    3. Égalité de deux ensembles et équivalence logique
    4. Complémentaire d’un sous-ensemble et négation logique
    5. Ensemble vide
    6. Les quantificateurs
    Construction d’ensembles à partir d’ensembles donnés
        7. Ensemble des events d’un ensemble
        8. Partition d’un ensemble
        9. Intersection de deux ensembles et conjonction logique
        10. Réunion de deux ensembles et disjonction logique
        11. Différences de deux ensembles
        12. Différence symétrique de deux ensembles et disjonction exclusive

3. kin binaires
    1. Couple
    2. Produit cartésien de deux ensembles
    3. Graphes
    4. relatives binaires
    5. Composition des family members binaires

4. family binaires dans un ensemble
    1. kinfolk binaires réflexives
    2. family binaires symétriques
    3. family binaires transitives
    4. family binaires antisymétriques
    5. relatives d’équivalence
    6. periods d’équivalence
    7. family d’ordre

5. Fonctions
    1. part (ou coupe) d’un graphe
    2. Fonctions (ou applications)
    3. Représentation graphique des fonctions et des applications
    4. Composition de deux applications
    5. Qualités d’une application
    6. program réciproque d’une bijection
    7. Équations
    8. Suites

6. Lois de composition interne
    1. Lois de composition interne dans un ensemble
    Qualités d’une loi de composition interne
        2. Associativité
        3. Commutativité
        4. Distributivité d’une opération sur une autre
    Éléments remarquables
        5. Éléments neutres
        6. Éléments symétriques
        7. Éléments réguliers

7. Structures : groupes, anneaux, corps
    Structure de groupe
        1. Définition
        2. Propriétés
    Structure d’anneau
        3. Définition
        4. Propriétés
    Structure de corps
        5. Définition
        6. Propriétés

8. constructions d’ordre
    Ensembles ordonnés
        1. events remarquables
        2. Éléments remarquables
        3. buildings remarquables : chaînes, treillis, simplexes
    L’ensemble ℝ ordonné par l. a. relation ⩽
        4. Relation d’ordre ⩽ dans ℝ
        6. Relation d’ordre et opération dans ℝ

9. Nombres cardinaux
    1. Ensembles équipotents
    2. Cardinal d’un ensemble
    3. Relation d’ordre entre nombres cardinaux
    4. Cardinal de A ∪ B
    5. Cardinal de A × B

10. Diagrammes séquentiels
    1. Diagrammes séquentiels
    2. Arbre des exponentielles
    3. Arbre des factorielles

11. examine combinatoire
    1. Permutations
    2. Arrangements
    3. Combinaisons
    4. Simplexes
    5. Exemples de problèmes de dénombrement

12. Le corps des nombres complexes
    1. Axiomes de l. a. théorie
    2. Recherche des stipulations nécessaires
    3. L’ensemble des nombres complexes
    4. Le groupe commutatif (ℂ, +)
    5. Le groupe commutatif (ℂ*, . )
    6. Le corps (ℂ, +, . )
    7. Retour sur le problème posé

Partie II. — Dérivées des fonctions numériques

13. Généralités sur les fonctions numériques
    1. Fonctions numériques
    2. L’ensemble ℝ des nombres réels
    3. Parité. Périodicité
    4. Opérations dans l’ensemble des fonctions numériques
    5. Représentation graphique d’une fonction numérique
    6. version des fonctions numériques
    7. Extrémums relatifs
    Limites
     eight. Exemples
     nine. Définitions
    Continuité
     10. Continuité en un point
     eleven. Fonctions discontinues en un point
    Fonction réciproque d’une fonction proceed et strictement monotone sur un segment
     12. Propriété des fonctions numériques maintains sur un segment
     thirteen. Propriétés des fonctions keeps et strictement monotones
     14. Fonction réciproque
     15. Extension de los angeles définition de los angeles fonction réciproque

14. Dérivabilité des fonctions numériques
    Nombre dérivé
        1. Dérivabilité en un point
        2. Nombre dérivé d’une fonction en un point
        3. Exemples
        4. Contre-exemples
        5. Propriété des fonctions dérivables en un point
    Interprétation géométrique des nombres dérivés et des différentielless
        6. Interprétation géométrique des nombres dérivés
        7. Interprétation géométrique des différentielles
    Fonctions dérivées
        8. Fonction dérivée première
        9. Retour sur los angeles notation différentielle

15. Dérivées des fonctions usuelles
    1. Méthode générale
    2. Dérivée première d’une fonction « constante »
    3. Dérivée première de l. a. fonction identique
    4. Dérivée première de los angeles fonction « carrée »
    5. Dérivée première de los angeles fonction « cube »
    6. Dérivée première de l. a. fonction « puissance quatrième »
    7. Dérivée première de l. a. fonction « inverse de… »
    8. Dérivée première de los angeles fonction « racine carrée de… »
    9. Dérivée première de l. a. fonction sinus
    10. Dérivée première de los angeles fonction cosinus
    11. Dérivée première de l. a. fonction tangente
    12. Dérivées des fonctions x → sin(ax + b)
    13. Tableau des dérivées premières de fonctions numériques usuelles

16. Opérations sur les fonctions dérivables
    1. Dérivabilité (rappel)
    2. Dérivée d’une somme de fonctions dérivables
    3. Dérivée première de kf (k constante, f fonction dérivable)
    4. Dérivée d’un produit de fonctions dérivables
    5. Dérivée de l. a. fonction « puissance n-ième »
    6. Dérivée du quotient de deux fonctions dérivables
    7. Dérivée première de los angeles racine carrée d’une fonction dérivable
    8. En résumé

17. program des dérivées à l’étude des diversifications d’une fonction
    Sens de version d’une fonction et signe de ses nombres dérivés
        1. Signe des nombres dérivés d’une fonction monotone
        2. Extrémum d’une fonction en un point
        3. Signe des nombres dérivés et sens de version d’une fonction
        4. Plan d’étude d’une fonction numérique
    Exemples d’étude de fonctions
        5. Fonctions trinômes du moment degré
        6. Fonctions homographiques
        7. Fonctions polynômes du threeᵉ degré
        8. Fonctions bicarrées
        9. Fonctions f telles que f(x) = (ax² + bx + c) / (a’x² + b’x + c’)
        10. Fonctions trigonométriques

Partie III. — Primitives des fonctions numériques

18. Primitives d’une fonction numérique
    1. Définition d’une fonction primitive
    2. Primitives d’une fonction
    3. Primitive prenant une valeur donnée pour x₀
    4. Recherche de quelques primitives
    5. Recherche de primitives

19. Aires de domaines plans
    1. Exemples
    2. Théorème fondamental
    3. Extension du théorème fondamental
    4. Calcul d’aires de domaines plans

Partie IV. — Fontions logarithmes. — Fonctions exponentielles

20. Fonction logarithme népérien
    1. Définition
    2. Interprétation géométrique
    3. Propriété fondamentale de los angeles fonction Log
    4. Conséquences de los angeles propriété fondamentale
    5. Étude de los angeles fonction logarithme népérien
    6. Un encadrement du nombre e

21. Fonction exponentielle de base e
    1. Définition
    2. Propriété fondamentale de l. a. fonction exponentielle
    3. Conséquences de los angeles propriété fondamentale
    4. Notation définitive
    5. Étude de l. a. fonction exponentielle de base e
    6. Tableau de version et représentation graphique

Partie V. — Probabilités

22. L’algèbre des événements
    1. Événements
    2. class des univers
    3. Algèbre des événements
    4. Simplexe et événements

23. Axiomes des probabilités
    Premier axiome des probabilités
        1. Exemple
        2. Probabilité et mesure
        3. Propriétés fondamentales des probabilités
        4. Probabilité sur un univers fini
        5. Étude d’un exemple
    Second axiome des probabilités
        6. Probabilités conditionnelles
        7. Indépendance en probabilité
        8. Schémas de tirages probabilistes
        9. Exercices résolus

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3 (q = 1 r −1 = 41/5 ee c 1+q 1−q = 2−p 2+3p 8/e 2−p 1/α 2−p 8 2p 2+p ). 1/α and α Since e−e . 3. Although the isoperimetric inequalities may serve as convenient sufficient conditions for the week Poincar´e type inequalities, in general they are not necessary. To speak about both necessary and sufficient conditions expressed in terms of geometric characteristics of a measure µ, one has to involve the concept of the capacity of sets, which is close to, but different than the concept of the µ-perimeter.

87, 632–642 (2007) 4. : Hardy’s inequalities revisited. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 25, no. 1-2, 217–237 (1997/98) 5. : Spectral Theory and Differential Operators. Cambridge Univ. Press, Cambridge (1995) 6. : A review of Hardy inequalities. In: The Maz’ya Anniversary Collection 2. Oper. Theory Adv. Appl. 110, 55–67 (1999) 7. : Sharp Hardy–Sobolev inequalities. C. , Acad. Sci. Paris 339, no. 7, 483–486 (2004) 8. : Sharp two-sided heat kernel estimates for critical Schr¨ odinger operators on bounded domains.

So, assume that 0 < α < 1, in which case V is not convex. It is easy to verify, the inequality of property 2’) holds for all t > 0 if and only it holds for t = 0, and then it reads as (α − 1) − ακn aα 0. Hence an optimal choice is κn = − 1−α αaα or, equivalently, κ=− 1−α αaα − n(1 − α) provided that αaα − n(1 − α) > 0. 2) Conclusion 1. 2). In other words, µ is convex only if the parameter a is sufficiently large. 3) 1/α , where C depends on the parameters a, b, α and the dimension n. 4) 38 S. Bobkov and B.

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