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Aritmetica: un approccio computazionale by Giulio Cesare Barozzi

By Giulio Cesare Barozzi

"La matematica è l. a. regina delle scienze e l'aritmetica è los angeles regina delle matematiche"; così scrisse Carl Friedrich Gauss, L'insegnamento della matematica, tanto a livello universitario quanto a livello di scuola secondaria, sembra aver dimenticato l''autorevole precetto del princeps mathematicorum. Solo in anni recenti si potuto riscontrare un'inversione di tendenza. l. a. scoperta, avvenuta nel 1977 da parte di tre ricercatori del M.I.T., che un risultato risalente a Fermat e generalizzato da Eulero poteva essere utilizzato in step with los angeles costruzione di codici crittografici difficilmente decifrabili, ha destato un specialty ritorno di interesse in keeping with l'aritmetica da parte di ambienti industriali, bancari e militari.

Problemi antichi, come l. a. scomposizione degli interi in fattori primi, hanno ricevuto in anni recentissimi un rinnovato interesse.

Questo volumetto, scritto in una prospettiva didattica, vuole essere un contributo alla rilettura in chiave algoritmica di alcuni classici argomenti della teoria elementare dei numeri e un invito a letture più impegnative, secondo le indicazioni fornite dalla bibliografia annessa advert esso.

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14 Si dimostri che condizione sufficiente (oltre che necessaria) affinch´e gli interi positivi n e m siano primi tra loro (cio`e MCD(n, m) = 1) `e che esistano due interi s e t tali che sn + tm = 1. 15 Dati n0 , n1 ∈ N∗ , abbiamo posto s0 = t1 := 1, s1 = t0 := 0, e successivamente ni+1 := ni−1 − qi ni , si+1 := si−1 − qi si , con qi := ni−1 div ni , ti+1 := ti−1 − qi ti , , i = 1, 2, . . , k, dove k `e il minimo indice per cui nk+1 = 0; ricordiamo (cfr. 12) che nk = sk n0 + tk n1 = MCD(n0 , n1 ). Tenendo presente che qi ≥ 1, dimostrare che (i pari) =⇒ (si ≥ 0 ∧ ti ≤ 0), (i dispari) =⇒ (si ≤ 0 ∧ ti ≥ 0).

16 - Calcolo del massimo comune divisore e del minimo comune multiplo di due interi positivi. Dati n, m ∈ N∗ , se ne calcolano il MCD e il mcm. 0. n → X, m → Y 1. X → U , Y → V 2. 4 U +V →U 3. stampare (X + Y )/2, (U + V )/2 4. fine Si osservi che, una volta usciti dal blocco di istruzioni contenuto al passo 2, si ha X = Y , dunque l’istruzione contenuta al passo 3 si potrebbe scrivere “stampare X”, oppure “stampare Y ”, in luogo di “stampare (X + Y )/2”. (Suggerimento. Si osservi che le istruzioni contenute al passo 2 mantengono la positivit` a delle variabili X e Y e l’invarianza dell’espressione X · V + Y · U ; poich´e tale espressione vale 2nm, una volta effettuata l’inizializzazione di tutte le variabili in gioco, .

2, nell’ipotesi che n non sia multiplo di p. Tale ipotesi significa che [n] `e un elemento invertibile di Zp . Consideriamo i numeri n, 2n, 3n, . , (p−1)n; poich´e i fattori 1, 2, . . 1). Dunque le classi 2 Aritmetica modulare 49 [n], [2n], . . , [(p − 1)n] sono a due a due distinte e diverse dall’elemento nullo di Zp . Ne segue che [n][2n][3n] . . [(p − 1)n] = [1][2][3] . . ], segue [np−1 ] = [1]. 4 Si verifichi che la congruenza nm ≡ n (mod m) pu` non `e primo. 5 Si verifichi che per ogni coppia di numeri naturali x e y e per ogni numero primo p si ha (x + y)p ≡ xp + y p (mod p).

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